Conférencier: Andrei Moroianu, University Paris-Saclay  (Orsay)

Résumé / Abstract:A weakly complex space is a smooth real manifold whose tangent bundle is stably isomorphic to a complex bundle. For example the sphere S^n is stably parallelizable, thus weakly complex, although it is well known that its tangent bundle is underlying a complex bundle only for n=2 and n=6. It is in general a non-trivial problem to decide whether a given manifold is stably complex. As an illustration, it took several years to show that the quaternionic projective spaces HP^n=Sp(n+1)/Sp(n)/Sp(1) are not weakly complex for n>1 (Hirzebruch 1953 for n>3, Milnor 1958 for n=2 and n=3, Massey 1962 for arbitrary n with a different method). In this talk we will recall the classification of compact inner symmetric spaces which are weakly complex, and extend this classification to the larger category of compact homogeneous spaces with positive Euler characteristic. We show that a simply connected compact equal rank homogeneous space is weakly complex if and only if it is a product of compact equal rank homogeneous spaces which either carry an invariant almost complex structure (and are classified by Hermann), or have stably trivial tangent bundle (and are classified by Singhof and Wemmer), or belong to an explicit list of weakly complex spaces which have neither stably trivial tangent bundle, nor carry invariant almost complex structures. 

Un espace faiblement complexe est une variété réelle lisse dont le fibré tangent est isomorphe au sens stable à un fibré complexe. Par exemple les sphères S^n sont stablement parallélisables, donc faiblement complexes, bien que leur fibré tangent ne soit sous-jacent à un fibré complexe que pour n=2 ou n=6. Il n'est pas évident en général si une variété donnée est faiblement complexe. Par exemple, il a fallu plusieurs années pour montrer que les espaces projectifs quaternioniques HP^n=Sp(n+1)/Sp(n)/Sp(1) ne sont pas faiblement complexes pour n>1 (Hirzebruch 1953 pour n>3, Milnor 1958 pour n=2 and n=3, Massey 1962 pour tout n, avec une méthode différente). Dans cet exposé nous rappellerons la classification des espaces symétriques compacts de type intérieur qui sont faiblement complexes, puis nous étendrons cette classification aux espaces homogènes compacts à caractéristique d'Euler positive.